JESUS M. RUIZ

Este texto está dedicado a la geometría analítica elemental del plano y del espacio, insistiendo en la distinción natural entre las nociones vectoriales, las afines y las euclídes. Tras recordar brevemente las operaciones basicas de escalares y vectores se explica el calculo vectorial en el que se basa la geometria analitica: combinaciones lineales, bases y coordenadas, productos escalar, vectorial y mixto; nociones, todas ellas, que sirven para calcular modulos, areas y volumenes.

La geometría elemental es la geometría de las figuras sencillas del plano y del espacio: rectas y planos, cónicas y algunas cuádricas no degeneradas. Su tratamiento analítico con ecuaciones sirve para trasformar los problemas de naturaleza y descripcion geometrica en otros de planteamiento algebraico, que puedan ser tratados con las herramientas del algebra. Este enfoque de los problemas de la geometria es posible desde que Descartes introdujo el concepto de coordenadas, y aunque hoy nos parece un metodo conveniente y muy util, no fue asi en un principio. Los historiadores de las Matematicas siempre nos recuerdan los duros enfrentamientos entre los partidarios del tratamiento sintetico sin ecuaciones, conceptual y ajeno al calculo explicito de nada, y los partidarios de reducir todo a tales calculos. Por supuesto, hoy sabemos que los unos no pueden vivir sin los otros: en muchos casos un argumento geometrico sagaz evita marasmos de calculos enrevesados, pero tambien muchas veces unas ecuaciones bien elegidas resuelven inmediatamente una configuracion geometrica dificil siquiera de representar graficamente. Al final, siempre ocurre que la buena comprension se alcanza recurriendo a la vez a ambos metodos, el sintetico y el analitico. Tampoco esta de mas recordar que si muchos son los problemas que uno, otro o ambos metodos conjuntamente resuelven, ¡son muchos mas los que siguen pendientes de solucion!Este texto esta dedicado al enfoque analitico de la geometria elemental del plano y del espacio, que intentamos presentar utilizando el significado geometrico de los objetos. El libro insiste en la distincion natural entre las nociones vectoriales, las afines y las euclideas. Las nociones vectoriales son las propias de un espacio ideal organizado alrededor de un elemento singular, el cero. Las nociones afines son las propias del espacio real, en el que no hay ningun punto cero, y por tanto ningun punto distinguido que condicione la representacion del espacio. En este espacio real podemos distinguir algunas propiedades geometricas, como el paralelismo, pero poco mas: no podemos siquiera reconocer la perpendicularidad. Para poder hacer eso debemos medir, que es lo propio de las nociones euclideas, que involucran distancias y angulos. Esto dicho, describamos con mas detalle la materia que se abarcamos:I. Primer capitulo. Aqui se expone del modo mas directo posible el calculo vectorial en el que se basa la geometria analitica: combinaciones lineales, bases y coordenadas, productos escalar, vectorial y mixto. En especial, se utilizan estas nociones para calcular modulos de vectores, areas de poligonos y volumenes de poliedros. Este primer capitulo debe ser sencillo para el lector, por ser su contenido ya familiar.II. Segundo capitulo. En el se describen mediante ecuaciones las figuras lineales (rectas y planos), y se utilizan esas ecuaciones para la construccion de figuras adicionales, para el calculo de distancias y para la determinacion de algunos lugares geometricos importantes (condiciones de equidistancia principalmente). Como el anterior, este capitulo debe ser perfectamente asequible.III. Tercer capitulo. Esta dedicado a un estudio elemental de la circunferencia, la elipse, la hiperbola y la parabola, expresando analiticamente las construcciones clasicas de todas ellas en el plano. Ademas se explica por que todas estas curvas se llaman seccion...