Novedades del último mes en libros de Matemática fundamental

A lo largo del tiempo, el cálculo diferencial e integral se ha establecido como uno de los campos más importantes de las matemáticas modernas. Por un lado, desde un punto de vista intuitivo, el cálculo diferencial se enfoca en entender como cambian ciertas cantidades en relacion con otras. Por ejemplo, la pendiente de una montaña mide cuan rapido cambia la altura a medida que recorres la distancia. El calculo diferencial nos permite no solo medir estos cambios, sino tambien entender y predecir el comportamiento de funciones y fenomenos en la naturaleza, como el movimiento de un objeto o el crecimiento de una poblacion. El calculo integral, en contraposicion al diferencial, se ocupa de la acumulacion de cantidades. En terminos generales, puede interpretarse la integral definida como una suma infinita de areas infinitesimales. Por ejemplo, si se considera la grafica de una funcion real y positiva, la integral sobre un intervalo representa el area encerrada bajo dicha curva. Esta nocion resulta particularmente util cuando se desea cuantificar una magnitud que varia de manera continua, como ocurre con el volumen de agua recogido en un recipiente alimentado por un caudal cuya velocidad de flujo no es constante. Una de las ideas mas profundas del calculo es la estrecha relacion entre la derivacion y la integracion. Los teoremas fundamentales del calculo establecen que, bajo condiciones adecuadas, estas dos operaciones son inversas entre si. Mas precisamente, derivar una funcion definida como una integral devuelve, casi siempre, la funcion original; e integrar una derivada permite recuperar (hasta una constante aditiva) la funcion primitiva. Este libro aborda una extension natural y necesaria del calculo diferencial e integral en una o varias variables. Mientras que el calculo clasico se desarrolla en espacios euclideos (planos, coordenadas globales y sin curvatura), muchos espacios de interes tanto en matematicas como en sus aplicaciones fisicas no poseen estas caracteristicas. Superficies como la esfera o el toro, por ejemplo, no admiten un sistema de coordenadas global valido en todo el dominio, y presentan estructuras geometricas mas ricas. Para tratar con estos espacios no euclideos se requieren herramientas mas generales, capaces de describir su comportamiento local y, al mismo tiempo, de articular como estas descripciones locales se ensamblan en una estructura global coherente El concepto central con el que trabajaremos a lo largo de este libro, y que permite abordar rigurosamente los espacios no euclideos mencionados anteriormente, es el de variedad diferenciable. Este tipo de espacios, aunque globalmente puedan presentar geometria curva, topologia compleja o ausencia de coordenadas globales, poseen una estructura local que se asemeja a la del espacio euclideo. De forma intuitiva, una variedad diferenciable puede pensarse como una figura geometrica suave, es decir, sin aristas ni discontinuidades, que se construye pegando parches locales, cada uno de los cuales se puede entender como una deformacion diferenciable subconjunto abierto de Rn. A estos parches se les asignan coordenadas locales, y el conjunto de todos ellos, junto con las funciones de cambio de coordenadas que conectan las regiones donde se solapan, conforma lo que se denomina un atlas diferenciable. Esta estructura nos permite extender conceptos fundamentales del calculo (como la derivada y la integral) a espacios qu...